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主讲人:孟道骥 教授,博士生导师

讲　授　课

本课程若使用黑板教学进度会慢一些，如使用多媒体,进度会快一些。

引 言(2)
对新同学表示祝贺,并提要求。
0.1概 述
简单扼要介绍本课程内容.
0.2预备事项
介绍连加号、连乘号、数学归纳法及归纳定义.
重点是数学归纳法及归纳定义.详细内容见教材的0.2.
 

第一章 多项式

只讲一元多项式.多元多项式视情况而定. 1. 1数域(2)
注意引导同学回忆从自然数到复数的认识数的过程.强调有理数表示为两个整数的商.
内容:教材1.1.
1. 2一元多项式(2)
定义及运算.强调运算的规律,特别是与线性空间有关的 规律.
内容:教材1.2.
1.3带余除法(2)
带余除法是中学未学过的,注意带余除法中商式与余式的唯一性.同余概念也是新的.
内容:教材1.3.

1.4最大公因式(2)
最大公因式的存在唯一性的理论证明、具体求法、性质,特别注意互素.
内容:教材1.4.

1.5因式分解(2)
因式分解及其唯一性定理.最大公因式、最小公倍式与因式分解的关系.
内容:教材1.5.

1.6导数 重因式(2)
多项式的导数与重因式的关系.
内容:教材1.6.
1.7多项式的根(2)
用函数的观点理解多项式,同一数学对象可以从不同的 观点、角度去理解,这是学习、研究数学重要方法.让学生有一初步体会.
代数学基本定理.不讲证明.
内容:教材1.7.
1.8有理系数多项式(2)
以一些不可约的判别法为中心.同时使同学知道,数学中仍有许多待解决的问题.
内容:教材1.8.
1.9多元多项式(2)
以对称多项式为中心讲述.
内容:教材1.9.
课时不足,可略去此节,建议在抽象代数中不讲多项式理论的应讲此内容.
1.10例(2)
内容:教材1.10.如果课时不够此节可不讲或少讲几个例子.
 

第二章 行列式

行列式的定义、性质及应用.
2.1矩阵(1)
矩阵的引入,行、列及元素的符号.
内容:教材2.1.
2.2行列式(1)
归纳定义n阶行列式.
内容:教材2.2.
2.3行列式的性质(2)
行列式的性质及例1、例2.
内容:教材2.3.
2.4行列式的完全展开(2)
行列式的完全展开,代数余子式.
内容:教材2.4.
2.5 Cramer法则(2)
线性方程组的定义, Cramer法则.
内容:教材2.5.
2.6例(2)
通过例子介绍计算行列式的一些技巧.
内容:教材2.6.
 

第三章 矩阵

本章主要矩阵运算及其性质.着重矩阵运算的规律和技
训练.
3.1矩阵的运算(2)
矩阵的运算中注意乘法,这是同学第一次遇到非交换的乘法.还要注意矩阵的符号(行、列和元素)的运用.为以后熟练运用打下基础.
内容:教材3.1.
3.2可逆矩阵(2)
可逆矩阵是同学在中学未曾碰到过的,注意非零方阵与可逆矩阵的区别.
内容:教材3.2.
3.3矩阵的分块(2)
分块是矩阵运算的基本技巧之一.
内容:教材3.3.
3.4矩阵的初等变换与初等矩阵(3)
初等变换源于线性方程组的加减消元法.初等变换与初
等矩阵的关系.可逆矩阵与初等变换的关系,求逆矩阵的方法.
内容:教材3.4.
3.5矩阵与线性方程组(1)
介绍线性方程组与矩阵间的关系,线行方程组的三种写法.
内容:教材3.5.
3.6例
通过一些例子进一步,进行矩阵计算技巧的训练.
内容:教材3.6.
 

第四章 线性空间

线性空间是线性代数的最基本、最重要的概念和理论.同时也是同学第一次接触到的非常抽象的概念和理论.与几何密切结合便于同学把握.
4.1向量及其线性运算(2)
向量及其几何表示,向量运算及其性质.满足线性空间的公理.
内容:教材4.1.
4.2坐标系(3)
坐标系引入是数学发展的重要转折点,是数和形的结合.
内容:教材4.2.
4.3线性空间的定义(2)
注意线性空间的广泛性,代数、几何与数学分析中都有线性空间.
内容:教材4.3.
4.4线性相关
线性相关与线性无关是线性空间的最基础的概念,是向量 共线、共面 的抽象化.
内容:教材4.4.
4.5秩,维数与基(3)
掌握线性空间的向量组的极大线性无关部分组及其所含向量个数(即向量组的秩)是以后学习的关键.替换定理起很重要作用.
内容:教材4.5.
4.6矩阵的秩(3)
描述矩阵秩的多样性.求矩阵秩的方法.
内容:教材4.6.
4.7线性方程组(2)
性方程组的完整理论.线性方程组的解法.线性空间理的很好的应用.
内容:教材4.7.
4.8坐标与基变换(3)
将抽象的向量变为具体的坐标(矩阵).矩阵符号的运用,的功效.
内容:教材4.8.
4.9子空间(2)
子空间的运算,维数公式,直和.
内容:教材4.9.
4.10商空间(2)
注意商空间的几何模型.同余观念的一般化.
内容:教材4.10.
4.11线性空间的同态与同构(3)

线性映射,同态及同构是现代代数学的最基本概念,为抽象代数奠定基础.
内容:教材4.11.
 

第五章 线性变换

线性变换是特殊的线性映射,是线性代数理论的重要组成部分,也是线性代数理论用于其他学科的关键.
5.1线性变换的定义(2)
注意线性变换的广泛性.
内容:教材5.1.
5.2线性变换的运算(2)
注意线性变换运算与方阵运算的相似性.
内容:教材5.2.
5.3线性变换的矩阵(4)
将抽象的线性变换化为具体的方阵,不同基下的方阵间的关系.
内容: 5.3.
5.4特征值与特征向量(4)
特征值、特征向量及特征多项式是线性变换的重要性质.特别是Hamilton-Caylay定理不仅本身重要,而且证明中有矩阵及多项式观念的转变.
内容: 5.4.
5.5具有对角矩阵的线性变换(2)
这类线性变换通常称为半(简)单的线性变换,有极其广泛的

用处.
内容:教材5.5.
5.6不变子空间(4)
这是难度最大的部分.多项式理论,线性代数理论在此处交汇在一起.提醒同学要特别注意.
内容:教材5.6.
5.7二,三维复线性空间的线性变换
为下一节做铺垫.注意计算能力的训练.
内容: 5.7.
5.8复线性空间线性变换的标准形
代数学中一个基本问题是某种代数结构的分类,每类找出一个简洁的代表,即所谓标准形. Jordan标准形就是典型的代表.用在商空间上诱导的线性变换这种思想求标准形,使同学对商空间等有更多的了解,而且这种方法也更简练.
内容:教材5.8.
 

第六章 多项式矩阵

若课时不够,可略去本章。 抽象代数中不讲模论的 学校可讲此章,而不讲5.8。
6.1多项式矩阵的标准形(2)
用初等变换化标准形.
内容:教材6.1。
6.2标准形的唯一性(1)
多项式矩阵的标准的唯一性。
内容:教材6.2。
6.3矩阵相似的条件(2)
数域上两个方阵相似的充分必要条件。
内容:教材6.3。
6.4复方阵的Jordan标准形(2)
复方阵的Jordan标准形的存在及唯一性。
内容:教材6.4。
 

第七章Euclid空间

有度量的实线性空间是通常空间的抽象化.度量在这类空间中有重要的作用.
7.1 Euclid空间的定义(2)
引入时注意与初等数学的联系,也要注意广泛性.
内容:教材7.1
7.2标准正交基(3)
标准正交基的优点,存在性.
内容:教材7.2.
7.3 Euclid空间的同构(1)
注意与线性空间同构的差别.
内容:教材7.3.
7.4子空间(2)
注意正交补,最小二乘法.
内容:教材7.4.
7.5共轭变换 正规变换(3)
度量对线性变换的影响,正规变换的标准形.后面的正交变换,对称变换是特殊的正规变换.
内容:教材7.5.
7.6正交变换(2)

正交变换与旋转,反射间的联系.
内容:教材7.6.
7.7对称变换(2)
注意对称变换的特征向量可构成标准正交基.
内容:教材7.7.
7.8酉空间及其变换(2)
有度量的复线性空间.此节可让同学自己完成证明.
内容:教材7.8.
7.9向量积与混合积(3)
这是解析几何中两种重要运算,特别是前者.从代数方 面讲,前者是同学第一次遇到非交换、非结合的乘法.后者是第一次遇到的三重线性函数.
内容:教材7.9.
 

第八章 双线性函数与二次型

这是高等代数的最后一部分内容.双线性函数是度量的推广,又是连接线性代数的二次齐次多项式的纽带,也是将高等代数用于解析几何的强有力的工具.
8.1对偶空间(2)
线性空间的线性函数构成的空间,对偶基,矩阵表示.
内容:教材8.1.
8.2双线性函数(4)
内积的推广,矩阵表示.
内容:教材8.2.
8.3二次型及其标准形(2)
化标准形的方法.
内容:教材8.3.
8.4唯一性(2)
重点是实二次型的规范形的唯一性.
内容:教材8.4.
8.5正定二次型
正定二次型的各种判别法.
内容:教材8.5.
8.6二次型在分析中的应用

多元函数的极值.如果同学未学多元微积分,不讲.
内容:教材8.6.
8.7二次型在解析几何中的应用(4)
等距变换,二次曲面的分类.
内容:教材8.7.
 

第九章 二次曲面

二次曲面是解析几何的核心内容,也是用高等代数方法解决得最好的几何问题.
9.1二次曲面(4)
二次曲面基本性质及形状.
内容:教材9.1.
9.2直纹面(2)
基本的直纹面.
内容:教材9.2.
9.3旋转面(2)
旋转面的方程.
内容:教材9.3.
9.4二次曲面的仿射性质(4)
二次曲面的各种仿射性质.
内容:教材9.4.
9.5二次曲面的度量性质(2)
不变量等.
内容:教材9.5.
 

第十章 仿射几何与射影几何

本章用线性空间的观点讲述仿射几何与射影几何.课时不足,可不在课堂上讲,作为阅读材料.
10.1仿射几何

10.2基本仿射性质

10.3仿射同构

10.4仿射几何基本定理

10.5射影几何

10.6射影几何的基本关联定理

10.7射影同构

10.8对偶 对偶几何

10.9射影二次型
 

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